FUNGSI KUADRAT, RASIONAL, DAN IRASIONAL

[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]

FUNGSI KUADRAT

Pengertian

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Contoh Fungsi Kuadrat

1. f(x) = 3x^2 -26x + 4

2. f(x) = x^2 - 36

3. f(x) = 8x^2 + 32

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

Contoh Soal 1

Jika grafik $y = x^2 + ax + b$ mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

Gunakan rumus $(-\frac{b}{2a})$ sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

$-\frac{a}{2(1)} = 1$

$a = -2$

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan $y = x^2 + ax + b$ diperoleh:

$2 = (1)^2 + a(1) + b$

$1 = a+ b$

Dari persamaan baru, substitusikan nilai $a = -2$ ,maka:

$1 = a + b = -2 + b$

$b =3$

Contoh Soal 2

Jika fungsi $y = ax^2 + 6x + (a+1)$ mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

$-\frac{b}{2a} = 3$

$-\frac{6}{2a} = 3$

$a =-1$

Sehingga fungsi y menjadi:

$y = -x^2 + 6x$

Nilai maksimumnya:

$-(\frac{b^2-4ac}{4a}) = -(\frac{6^2 - 4(-1)(0)}{4(-1)}) = (\frac{36}{4}) = 9$

Soal 3

Tentukan grafik yang melintasi (-1, 3) dan titik minimumnya sama dengan puncak grafik $y = x^2 4x + 3$ . (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Titik puncak $y = x^2 + 4x + 3$ adalah:

$(x_p, y_p) = [-\frac{b}{2a},-(\frac{b^2-4ac}{4a})] = [-\frac{4}{2},-(\frac{4^2 - 4(3)}{4})]$

$(x_p, y_p) = [-2, -(\frac{16 - 12}{4})] = (-2, -1)$

Substitusikan nilai $(-1,3)$ dan $(x_p,y_p)$ dalam persamaan:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$

$3 = a((-1)-(-2))^2 + (-1)$

$3 = a(1^2) + (-1)$

$a = 4$

Maka grafik fungsi kuadrat yang dicari adalah:

$y = a (x-x_p)^2 + y_p = 4(x+2)^2 - 1$

$y = 4(x^2 + 4x + 4) - 1 = 4x^2 + 16x + 16 - 1$

$y = 4x^2 + 16x + 15$

[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]

Fungsi Rasional

Pengertian

Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional $\frac{g(x)}{h(x)}$ . dengan $g(x)$ dan $h(x)$ adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol.

Fungsi rasional yang paling sederhana adalah fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki pembilang konstanta dan penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua fungsi tersebut memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan karena setiap kita mengambil sembarangx (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Hal ini berarti x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, demikian pula sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat seperti di bawah ini.

Tabel dan Grafik

Contoh Soal

Sketsa grafik fungsi rasional

\style{font-size:14px}{f(x)=\frac2{3-x}}

dengan

\style{font-size:14px}{x\neq3}

adalah

Sketsa grafik fungsi rasional dapat digambarkan dengan menentukan asimtotnya dan menentukan beberapa titik yang dilaluinya. Asimtot merupakan garis yang tidak dipotong oleh grafik, tetapi hanya didekati sampai tak hingga.

#Langkah 1, Menentukan Asimot Datar

Bentuk umum fungsi rasional adalah $begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator k over denominator a x plus b end fraction end style$ memiliki asimtot datar $begin mathsize 14px style y equals 0 end style$ sehingga $begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 minus x end fraction end style$ memiliki asimtot datar $begin mathsize 14px style y equals 0 end style$ .

#Langkah 2, Menentukan Asimot Tegak

Penyebut dari fungsi rasional $begin mathsize 14px style text f(x)= end text fraction numerator 2 over denominator 3 minus x end fraction end style$ adalah $begin mathsize 14px style open parentheses 3 minus x close parentheses end style$ .

Pembuat nol penyebut :

$begin mathsize 14px style 3 minus x equals 0 x equals 3 minus 0 x equals 3 end style$

Sehingga asimtot tegak dari fungsi rasional $begin mathsize 14px style text f(x)= end text fraction numerator 2 over denominator 3 minus x end fraction end style$ adalah $begin mathsize 14px style x equals 3 end style$ .

#Langkah 3, Menentukan Tititk koordinat bantu

$begin mathsize 14px style ring operator x rightwards double arrow 1 f left parenthesis 1 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 minus left parenthesis 1 right parenthesis end fraction f left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 over 2 y equals 1 left right double arrow A space left parenthesis 1 comma 1 right parenthesis end style$ $begin mathsize 14px style ring operator x rightwards double arrow 2 f left parenthesis 2 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 minus left parenthesis 2 right parenthesis end fraction f left parenthesis 2 right parenthesis equals 2 over 1 y equals 2 left right double arrow B space left parenthesis 2 comma 2 right parenthesis end style$

$begin mathsize 14px style ring operator x rightwards double arrow 4 f left parenthesis 4 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 minus left parenthesis 4 right parenthesis end fraction f left parenthesis 4 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator negative 1 end fraction y equals negative 2 left right double arrow C space left parenthesis 4 comma negative 2 right parenthesis end style$ $begin mathsize 14px style ring operator x rightwards double arrow 5 f left parenthesis 1 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator 3 minus left parenthesis 5 right parenthesis end fraction f left parenthesis 1 right parenthesis equals fraction numerator 2 over denominator negative 2 end fraction y equals negative 1 left right double arrow D space left parenthesis 5 comma negative 1 right parenthesis end style$

https://roboguru.ruangguru.com/question/sketsa-grafik-fungsi-rasional-dengan-adalah_QU-DT8XUIGI

$FUNGSI IRASIONAL$

Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Contoh bilangan irasional adalah bilangan π (phi) dan bilangan e (epsilon).

Suatu pertidaksamaan bentuk akar dinamakan juga pertidaksamaan irasional, hal ini dikarekanan nilai peubah yang akan ditentukan selangnya terdapat dalam tanda akar. Teoremanya adalah sebagai berikut: