MENGGUNAKAN METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Deret

Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Pertama :

Akan ditunjukkan n=(1) benar

2 = 1(1 + 1)

Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua :

Asumsikan n=(k) benar yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Langkah Ketiga

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Jadi, n = (k + 1) benar

Pembagian

Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :

Langkah Pertama:

Akan ditunjukkan n=(1) benar

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Jadi, n=(1) benar

Langkah Kedua: 

Asumsikan n=(k) benar, yaitu

k3 + 2k = 3m,    k ∈ NN

Langkah Ketiga:

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ ZZ

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.

Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ

Jadi, n=(k + 1) benar

Pertidaksamaan

Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku

 3n > 1 + 2n

Jawab :

Langkah Pertama:

Akan ditunjukkan n=(2) benar

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua:

Asumsikan n=(k) benar, yaitu

3k > 1 + 2k,    k ≥ 2

Langkah Ketiga:

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)

3k+1 = 3(3k)

3k+1 > 3(1 + 2k)               (karena 3k > 1 + 2k)

3k+1 = 3 + 6k

3k+1 > 3 + 2k                    (karena 6k > 2k)

3k+1 = 1 + 2k + 2

3k+1 = 1 + 2(k + 1)

Jadi, n=(k + 1) juga benar